La conception multi-agents de MitoMAS

Pour modéliser une membrane constituée de phospholipides, c'est à dire un assemblage de molécules contraintes par des forces, nous avons choisi d'utiliser les SMA, l'équivalent informatique d'un tel système dynamique d'objets en interactions locales.

Les agents biologiques : les BioAgents

La figure~\ref{fig:sma-conception_diagramme-de-classes_Agent} donne les relations d'héritages entre les différents types d'agents du modèle.

En spécialisant la super-classe Agent, nous définissons un agent générique pour prendre en compte les objets biologiques : le BioAgent. Cet agent biologique est un agent mobile situé (par les coordonnées continues du centre de gravité de la molécule) doté d'une orientation. Il est composé d'une collection de grains d'atomes qui seront les points d'interactions où les forces s'appliquent.

Nous distinguons deux types de BioAgents : un agent Phospholipid et un agent EnzymaticComplex pour les protéines membranaires, qui, dans le contexte de la membrane interne mitochondriale, correspondent aux complexes enzymatiques de la chaîne respiratoire. Un agent EnzymaticComplex se borne à ne représenter que la surface d'une molécule par un maillage de grains, sans tenir compte de la structure moléculaire interne.

Les interactions entre les grains

Sous la forme de forces, les interactions entre les grains sont à l'origine des déplacements des agents réactifs que sont les BioAgents.

Pour intégrer les différentes expressions mathématiques des potentiels générant ces forces d'interactions intra et inter-moléculaires, nous avons souhaité proposer un cadre général à spécialiser en fonction de la représentation souhaitée des molécules : une représentation flexible ou rigide. Nous précisons par la suite les différents cas de figure envisagés ainsi que les potentiels éventuellement appliqués.

Quelques soient les expressions de ces potentiels, nous pouvons souligner qu'étant donné que les forces s'appliquent uniquement au niveau des grains, il est envisageable de réaliser des simulations avec à la fois des molécules rigides et des molécules flexibles.

Les agents environnement : les GridAgents

L'environnement est un espace 3D continu que nous modélisons comme un tore (monde clos) en utilisant un parallélépipède rectangle où les BioAgents qui sortent par une face rentrent par la face opposée. Cette nature torique évite des discontinuités non justifiées de l'espace et garantit un nombre constant de molécules au cours de la simulation.

Cet environnement bénéficie d'un partitionnement de l'espace sous la forme d'une grille (partition régulière, non hiérarchique et fixe) où les dimensions de chaque unité volumique, appelée GridAgent, sont à mettre en relation avec la distance limite d'interaction entre deux grains (ou distance de coupure). Ces agents dédiés à la gestion de l'environnement sont des agents immobiles situés dans la grille (assimilables aux cellules d'un automate cellulaire). Les GridAgents ont des comportements parmi lesquels celui de fournir à un BioAgent qu'il contient son voisinage (c'est à dire les BioAgents suffisamment proches pour interagir) et celui d'identifier directement le chemin le plus court entre deux BioAgents spatialement situés dans l'espace torique.

En effet, la nature torique d'un espace est susceptible de modifier la notion de proximité entre deux points de cet espace. Par exemple, la figure~\ref{fig:sma-conception_voisinage-elabore} indique que le chemin le plus court entre les deux points A et B n'est pas le chemin direct en bleu mais le chemin en rouge entre le point A et B', une des positions virtuelles du point B.

Pour réduire le calcul des distances, un GridAgent rajoute à la notion de voisinage défini par les GridAgents contigus une information supplémentaire (sous la forme d'un triplet d'entier) qui permet d'identifier directement le chemin le plus court entre deux points. La figure~\ref{fig:sma-conception_voisinage-elabore} donne l'exemple pour le voisinage (en gris clair) du GridAgent 5 (en gris foncé) : le triplé \{0,-1,0\} du GridAgent 4 permet de réaliser une translation du point B de -1 fois la dimension en Y du volume pour obtenir la position virtuelle B' qui correspond au chemin le plus court.

Un cycle de simulation

Chaque pas de la simulation déclenche un certains nombres de comportements des agents, en l'occurrence les comportements constituant les cycles de vie de ces agents.

Dans un premier temps, les GridAgents sont activés ; leur cycle de vie consistant essentiellement à maintenir à jour les voisinages des BioAgents.

Ensuite les BioAgents sont activés à leur tour, leur cycle de vie comptant deux étapes :

• une première passe consiste à déterminer les interactions entre tous les grains et à en retenir l'interaction la plus forte. Les BioAgents mémorisent ces interactions. Le temps tau à utiliser pour intégrer les prochaines positions de tous les BioAgents est déterminé.
• La seconde passe consiste à réellement calculer les positions futures des BioAgents en utilisant notamment tau avant de réaliser un échange entre la position future et l'actuelle.

Un tel mécanisme en deux temps (avec duplication en mémoire de la position des BioAgents) permet d'instaurer un processus adaptatif qui tient compte de la complexité des interactions entre les molécules à chaque instant de la simulation : tout en réduisant les erreurs d'intégrations, l'efficacité des simulations est augmentée.

Le modèle gros grains de MitoMAS

Une modélisation gros grains de la membrane

Un modèle gros grains manipule des groupes d'atomes ou grains, le comportement des atomes d'un grain étant moyenné au niveau de son centre de gravité.

Ce niveau d'abstraction des molécules offre la possibilité d'étudier les phénomènes biologiques à des échelles de temps de l'ordre du dixième de microseconde (10^{-7}s) et de taille de l'ordre du dixième de micromètre (10^{-7}m), ce qui correspond à des valeurs beaucoup plus proches de celles nécessaires pour l'étude de phénomènes comme la formation des replis des membranes.

La modélisation d'un lipide

La figure~\ref{fig:sma_lipide} montrent les 3 types de grains défini pour notre modèle : le type tête bleu hydrophile, le type interface violet moyennement hydrophobe et le type queue rouge très hydrophobe.

En choisissant 1 grain par type, nous définissons un modèle minimal permettant néanmoins une modélisation correcte :

• du volume et éventuellement d'une certaine flexibilité,
• de l'hydrophobie, c'est à dire de la répulsion entre les queues et le solvant.

A partir des structures atomiques (issues de RMN ou de cristallographie), nous avons modélisé dans un premier temps une molécule de DMPC (1,2-dimyristoylphosphatidylcholine (C14:0)) d'une taille ~30A par un (hétéro-)trimère rectiligne constitué de 3 grains, chacun d'un type différent et d'un rayon ~5A.

Les interactions entre les grains

Les interactions entre les grains, ici sous la forme de potentiels générant des forces, sont à l'origine des déplacements des BioAgents. On distingue généralement les interactions intramoléculaires concernant les grains appartement au même BioAgent et les interactions intermoléculaires entre deux BioAgents.

Les interactions intramoléculaires

La figure~\ref{modele_flexibilite} montre différentes représentations d'une molécule générique représentée par 5 grains (A) :

• une représentation flexible (B), la plus répandue, avec des potentiels de liaison et des potentiels de flexion, ce qui permet de paramétrer la dimension et la flexibilité de chaque section de la structure. A noter que le voisinage intramoléculaire de chaque grain reste le même au cours de la simulation.
• une représentation flexible (C) assurée uniquement par des potentiels de liaison avec éventuellement une distance limite au delà de laquelle les grains trop éloignés n'interagissent plus (D). Cette solution permet par exemple de contraindre la conformation moléculaire à proximité d'un site actif d'un complexe enzymatique constitué de grains éloignés dans la séquence de la protéine. Dans ce cas, le voisinage intramoléculaire de chaque grain peut évoluer au cours de la simulation, en fonction de la conformation de la molécule.
• une représentation rigide (E) qui impose des positions relatives fixes aux grains. Il n'est pas question ici de voisinages intramoléculaires puisqu'il n'y aura aucun potentiel entre les grains de la même molécule.

Même si une représentation flexible peut permettre d'obtenir des résultats plus cohérents avec certaines données expérimentales, nous choisissons d'implémenter dans un premier temps une représentation rigide des molécules, ceci étant le compromis entre une représentation acceptable des lipides à l'échelle des membranes et une augmentation de l'efficacité des simulations.

Les interactions intermoléculaires

Les interactions intermoléculaires entre les grains s'expriment au travers de potentiels de Lennard-Jones modifiés pour chaque paire de type de grains où epsilon est la profondeur du potentiel et sigma la distance (finie) où la force dérivée de ce potentiel est nulle : des potentiels attractifs/répulsifs U_{ii} Eq.\eqref{eq:sma_LJ33}, un potentiel \textbf{attractif/répulsif adouci} U_{23} Eq.\eqref{eq:sma_LJ34} et des potentiels \textbf{purement répulsifs} U_{12} Eq.\eqref{eq:sma_LJ31} et U_{13} Eq.\eqref{eq:sma_LJ32}.

\begin{align*}

\label{eq:sma_LJ33}

&\mbox{Meme type : }& U_{ii}(r) &= 4 \epsilon_{ii} [ (\frac{\sigma_{ii}}{r})^{12} - (\frac{\sigma_{ii}}{r})^{6}] \\

\label{eq:sma_LJ34}

&\mbox{Interface/Queue : }& U_{23}(r) &= 4 \epsilon_{23} [ (\frac{\sigma_{23}}{r})^{2} - (\frac{\sigma_{23}}{r})] \\

\label{eq:sma_LJ31}

&\mbox{Tete/Interface : }& U_{12}(r) &= 4 \epsilon_{12} (\frac{\sigma_{12}}{r})^{12} \\

\label{eq:sma_LJ32}

&\mbox{Tete/Queue : }& U_{13}(r) &= 4 \epsilon_{13} (\frac{\sigma_{13}}{r})^{18}

\end{align}

Ces différents potentiels permettent de modéliser implicitement le solvant, c'est à dire qu'il n'y a pas grains d'eau pour représenter explicitement les molécules du solvant. Les répulsions fortes entre la tête hydrophile et les portions hydrophobes (U_{12} et U_{13}) permettent de rendre compte correctement de l'hydrophobie des lipides.

L'équation du mouvement

Nous proposons une approximation de la seconde loi de Newton faite à l'échelle mésoscopique des grains qui lie les forces à la vitesse des grains et non à leur accélération. L'équation~\eqref{eq:mouvement-global} donne, pour un grain, le calcul de sa prochaine position x_{t+\tau}, à partir de sa position actuelle x_{t}, des forces conservatives issues des interactions avec les grains de ses voisinages (intra- et inter-moléculaires), d'une force dissipative de friction avec le solvant et d'un déplacement aléatoire qui modélise le mouvement brownien.

A l'énergie conservative correspondante aux forces entre deux grains, il faut aussi inclure dans cette équation une quantité dissipative d'énergie (friction avec le solvant) et une quantité d'apport d'énergie (mouvement brownien) :

\begin{equation}

\label{eq:mouvement-global}

x_{t+\tau} - x_t = \frac{\sum_i f_i}{6 \pi \eta r} \tau + \sqrt{\frac{RT}{\mathcal{N}_{av} 3 \pi \eta r}\tau} \left( \begin{array}{c} U \\ V \\ W \\ \end{array} \right)

\end{equation}

Cette équation implique la température T (agitation thermique), la constante des gaz parfait R, le nombre d'Avogadro N_{av}, la viscosité du solvant eta, le rayon du grain r et trois variables aléatoires U, V et W qui suivent la loi normale centrée réduite \mathcal{N}(0,1).

Le temps d'intégration tau varie à chaque pas de simulation en fonction de l'intensité maximale des forces appliquées sur les grains et d'une distance maximale de déplacement pour ces mêmes grains. Ce mécanisme simple permet de limiter les erreurs d'intégration tout en conservant l'efficacité de la simulation.

Les expérimentations in-silico

Le simulateur MitoMAS

L'implémentation de la conception agent qui intègre les différentes spécificités du modèle gros grains précédent donne lieu au simulateur MitoMAS, simulateur dédié aux systèmes moléculaires à l'échelle mésoscopique.

Parmi les caractéristiques de ce code en C++ :

• moteur physique,
• interface interactive (visualisation 3D / options en ligne de commande),
• mutli-plateformes : OS (linux, windows), architecture (x86 32 bits et 64 bits),
• libre (GPL), sources disponibles sur sourceforge,
• deux exécutables (utilisation type client/serveur).
  

D'un manière générale, voici les caractéristiques des simulations :

• plusieurs milliers de lipides (~100 000 atomes),
• volumes de simulation : ~100A de coté (10^{-8}m),
• temps simulés : ~10 nanosecondes (10^{-8}s),
• durées des simulations : ~1h - 10h de calcul,
• 100 000 à 1 million d'interactions / pas de simulation.